Dragefirkant uden rette vinkler

En vejledende samling af matematiske problemstillinger rettet mod elever på niende klassetrin omfatter blandt andet en opgave vedrørende en rektangulær terrasse, hvis dimensioner udgør en længde på fem meter og en bredde på tre meter, hvorefter spørgsmålet rettes mod beregningen af terrassens samlede fladeindhold, der naturligvis udregnes som produktet af længde og bredde, hvilket resulterer i femten kvadratmeter, og da terrassen desuden er belagt med et lag grus på fem centimeter i tykkelse, opstår behovet for at fastslå dette materials rumfang, hvilket kræver en konvertering af tykkelsen til meter - altså 0,05 meter - hvorefter volumenet findes ved at gange arealet med denne højde, hvilket giver 0,75 kubikmeter, og da hver sæk grus indeholder 0,2 kubikmeter, må antallet af nødvendige sække bestemmes ved division af det samlede rumfang med sækkens indhold, hvilket afrunder opad til fire sække, da man ikke kan købe en brøkdel af en sæk, og herefter lægges der fliser oven på gruset, hvor hver enkelt flise måler halvtreds centimeter på begge ledder, og da flisernes placering følger et skiftende mønster, hvor hver anden række udelukkende består af hele fliser, mens de mellemliggende rækker initieres og afsluttes med halvfliser, og givet at der foreligger tre rækker af hver type, kan det konkluderes, at der samlet set er seks halvfliser fordelt på de tre rækker, der hver indeholder to halvfliser, og desuden findes der tre rækker med ti hele fliser samt tre rækker med ni hele fliser, hvilket i alt udgør syvoghalvtreds hele fliser, og da terrassen desuden hælder tværs over dens bredde, således at den ene side er en og en halv centimeter højere end den modsatte over en strækning på tre meter, kan hældningsprocenten beregnes ved først at omregne højde- og længdeforskellen til samme enhed, hvorefter hældningen i procent findes som (1,5/300) × 100, hvilket resulterer i en hældning på 0,5 procent, og i en efterfølgende opgave behandles en rombe, hvis diagonaler måler henholdsvis fire og syv enheder, og da arealet af en rombe altid svarer til halvdelen af produktet af diagonalernes længder, kan dette udregnes til fjorten kvadratenheder, og en roset sammensat af syv ens romber kræver en analyse af vinklerne u og v, hvor det ved symmetri og vinkelsum i en rombe - der altid er 360 grader - kan fastslås, at u og v tilsammen udgør 180 grader, og da romberne i rosetten er ens og fordeler sig jævnt, må hver vinkel u være lig med 360 divideret med syv, hvilket giver ca.

51,43 grader, mens v derimod bliver 180 minus u, altså cirka 128,57 grader, og en anden rombe med sidelængden fem og vinkler på tres grader og hundredeogtyve grader nødvendiggør en beregning af den længste diagonal, hvilket kan gøres ved at anvende sinusrelationen i en retvinklet trekant, idet romben deles af sine diagonaler i fire retvinklede trekanter, hvor hypotenusen er rombens side, og den modstående vinkel til den søgte katete - der udgør halvdelen af diagonalen - er halvdelen af den stumpe vinkel, altså tres grader, og da kateten er lig med hypotenusen gange sinus til denne vinkel, fås halvdelen af diagonalen som 5 × sin(30°), hvilket er 2,5, og dermed bliver hele diagonalen fem enheder, mens en dragefirkant med diagonaler på tolv og - lad os antage - otte enheder har et areal, der ligesom rombens udregnes som halvdelen af diagonalernes produkt, hvilket her bliver seksogfirs kvadratenheder, og når en af dragefirkantens vinkler er tredive grader, mens den modstående vinkel - som altid er identisk i en dragefirkant - også er tredive grader, må de resterende to vinkler nødvendigvis summere til trehundrede og tres grader og være ens, hvilket betyder, at hver af dem er en hundrede og femoghalvtreds grader, og i en særlig dragefirkant, hvor de to ens vinkler begge er rette, kan den længste diagonal AC bestemmes ved at betragte firkanten som sammensat af to ens retvinklede trekanter, hvor diagonalen udgør hypotenusen, og da de to kateter er kendte - f.

eks. seks og otte enheder - kan diagonalen findes via Pythagoras' sætning som kvadratroden af (6² + 8²), hvilket giver ti enheder, og dette princip med at indskrive firkanten i et rektangel, hvis sider svarer til diagonalerne, demonstrerer generelt, at arealet af både romber og dragefirkanter altid vil være halvdelen af produktet af diagonalernes længder.